Mathematica/微分積分
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''概要'':このページでは、数学ソフトMathematicaでの微分積...
''親ページ'':このページの親ページは[[Mathematica]]です。
|目次|
#contents
----
*微分 [#lcb99b3d]
とりあえず，
f[x_] := 5 x ^3 + 4 x ^2 + 3 x + 1
と関数fを定義しておこう．定義に沿って微分するには
Limit[(f[x + h] - f[x])/h, h -> 0]
とやればよい．
当然，コマンドがある．
D[f[x], x]
である．
f'[x]
とやっても同じ．
f''[x]
とやれば，2階の導関数を求めてくれる．
ここで，いったん定義した関数fを
Remove[f]
で取り除いておこう．さて，
D[f[g[x]], x]
とすれば，合成関数の微分の公式をはじき出してくれる．
D[(3 x + 5)^5, x]
などどすれば，
15 (5 + 3 x)^4
となるので，確かに合成関数の微分の公式は成立していること...
対数微分法で
D[Log[x], x]
を計算すれば，
1/x
となる．
D[Log[f[x]], x]
を計算すれば，
f'[x]/ f[x]
を得る．
D[a^x, x]
は
a^x Log[a]
を返す．
その他，
D[Exp[f[x]], x]
D[x^n, x]
D[Sin[x], x]
などど遊んでみよう．
高次の微分もできる．
D[Exp[x], {x, 3}]
とやれば，Exp[x]の3階微分を返す．すなわち，
e^x
である．
D[Exp[f[x]], {x, 5}]
なども瞬時に計算してくれる．すごい．
導関数を同じ図にプロットしてみよう．
f[x_] := x^3 - x^2 - 5 x + 1
と定義しておき，
Plot[Evaluate[{f[x], D[f[x], x], D[f[x], {x, 2}]}, {x, -...
とすれば，関数fと，1次導関数，2次導関数を同じ図に描いてく...
Solve[{D[f[x], x] == 0}, x]
の解になっていることも確認できる．（ここでは，Evaluateを...
**テーラー展開 [#jdc3cdb5]
テーラー展開，マクローリン展開（＝原点周りのテーラー展開...
Remove[f]
で，さっき定義した関数fをまずは消去しておこう．
Series[f[x], {x, a, 4}]
とすれば，関数f[x]について，aの周りで4次までのテーラー展...
Series[f[x], {x, a, n}] /. n -> 4
としても同じこと．
いくつか，有名なマクローリン展開を紹介しておこう．
Series[Exp[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Log[1 + x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Sin[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
など．
*積分 [#s5fa7421]
**不定積分 [#gbd082e2]
Integrate[x, x]
とすれば，関数f(x)=xを，xで不定積分してくれる．
Integrate[x^2, x]
Integrate[x^3, x]
Integrate[x^n, x]
Integrate[Exp[x], x]
Integrate[Log[x], x]
Integrate[Cos[x], x]
など，いろいろと遊んでみよう．積分定数は省略されている点...
部分積分の公式を使った計算も，瞬時にやってくれる．
たとえば，
Integrate[x Exp[x] Cos[x], x]
などで確認してみよう．
置換積分法も楽々計算してくれる．例えば，
Integrate[( x + 1)^10, x]
Integrate[(a x^2 + 1)^10, x]
Integrate[Cos[n x], x]
などで確認してみよう．
部分分数分解して積分するのも簡単にできる．
Integrate[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x)), x]
などで確認してみよう．部分分数分解は
Apart[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x))]
によって与えられる．分解をもとに戻すには，
Together[]
というコマンドを使う．
**定積分 [#a4b7f472]
Integrate[x^3, {x, 0, 1}]
などどやれば，&mimetex(\int_0^1 x^3 dx);を計算してくれる．
**数値積分 [#w6703fae]
Integrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
のような複雑な関数の積分をしようとすると，解析的に求まら...
NIntegrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
とすれば，
0.763416
瞬時に計算してくれる．すごい．
*Reference [#c899a2ea]
**参考書籍 [#m54083a0]
-宮岡悦良(2000),『Mathematica数学の道具箱〈上〉』,ブレー...
-宮岡悦良(2000),『Mathematica数学の道具箱〈下〉』,ブレー...
**リンク [#l7209951]
-[[神戸大学 Mathematica ホームページ:http://bach.istc.kob...
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|このページについて|
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''親ページ'':このページの親ページは[[Mathematica]]です。
|目次|
#contents
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*微分 [#lcb99b3d]
とりあえず，
f[x_] := 5 x ^3 + 4 x ^2 + 3 x + 1
と関数fを定義しておこう．定義に沿って微分するには
Limit[(f[x + h] - f[x])/h, h -> 0]
とやればよい．
当然，コマンドがある．
D[f[x], x]
である．
f'[x]
とやっても同じ．
f''[x]
とやれば，2階の導関数を求めてくれる．
ここで，いったん定義した関数fを
Remove[f]
で取り除いておこう．さて，
D[f[g[x]], x]
とすれば，合成関数の微分の公式をはじき出してくれる．
D[(3 x + 5)^5, x]
などどすれば，
15 (5 + 3 x)^4
となるので，確かに合成関数の微分の公式は成立していること...
対数微分法で
D[Log[x], x]
を計算すれば，
1/x
となる．
D[Log[f[x]], x]
を計算すれば，
f'[x]/ f[x]
を得る．
D[a^x, x]
は
a^x Log[a]
を返す．
その他，
D[Exp[f[x]], x]
D[x^n, x]
D[Sin[x], x]
などど遊んでみよう．
高次の微分もできる．
D[Exp[x], {x, 3}]
とやれば，Exp[x]の3階微分を返す．すなわち，
e^x
である．
D[Exp[f[x]], {x, 5}]
なども瞬時に計算してくれる．すごい．
導関数を同じ図にプロットしてみよう．
f[x_] := x^3 - x^2 - 5 x + 1
と定義しておき，
Plot[Evaluate[{f[x], D[f[x], x], D[f[x], {x, 2}]}, {x, -...
とすれば，関数fと，1次導関数，2次導関数を同じ図に描いてく...
Solve[{D[f[x], x] == 0}, x]
の解になっていることも確認できる．（ここでは，Evaluateを...
**テーラー展開 [#jdc3cdb5]
テーラー展開，マクローリン展開（＝原点周りのテーラー展開...
Remove[f]
で，さっき定義した関数fをまずは消去しておこう．
Series[f[x], {x, a, 4}]
とすれば，関数f[x]について，aの周りで4次までのテーラー展...
Series[f[x], {x, a, n}] /. n -> 4
としても同じこと．
いくつか，有名なマクローリン展開を紹介しておこう．
Series[Exp[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Log[1 + x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Sin[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
など．
*積分 [#s5fa7421]
**不定積分 [#gbd082e2]
Integrate[x, x]
とすれば，関数f(x)=xを，xで不定積分してくれる．
Integrate[x^2, x]
Integrate[x^3, x]
Integrate[x^n, x]
Integrate[Exp[x], x]
Integrate[Log[x], x]
Integrate[Cos[x], x]
など，いろいろと遊んでみよう．積分定数は省略されている点...
部分積分の公式を使った計算も，瞬時にやってくれる．
たとえば，
Integrate[x Exp[x] Cos[x], x]
などで確認してみよう．
置換積分法も楽々計算してくれる．例えば，
Integrate[( x + 1)^10, x]
Integrate[(a x^2 + 1)^10, x]
Integrate[Cos[n x], x]
などで確認してみよう．
部分分数分解して積分するのも簡単にできる．
Integrate[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x)), x]
などで確認してみよう．部分分数分解は
Apart[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x))]
によって与えられる．分解をもとに戻すには，
Together[]
というコマンドを使う．
**定積分 [#a4b7f472]
Integrate[x^3, {x, 0, 1}]
などどやれば，&mimetex(\int_0^1 x^3 dx);を計算してくれる．
**数値積分 [#w6703fae]
Integrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
のような複雑な関数の積分をしようとすると，解析的に求まら...
NIntegrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
とすれば，
0.763416
瞬時に計算してくれる．すごい．
*Reference [#c899a2ea]
**参考書籍 [#m54083a0]
-宮岡悦良(2000),『Mathematica数学の道具箱〈上〉』,ブレー...
-宮岡悦良(2000),『Mathematica数学の道具箱〈下〉』,ブレー...
**リンク [#l7209951]
-[[神戸大学 Mathematica ホームページ:http://bach.istc.kob...
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