頭の体操

概要:このページでは頭を体操します。

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ランダムウォークを雛形とする問題 †

階段の棒人間君 †

棒人間君が魔の7段階段の5段目にいます。
棒人間君は毎回コインを投げて、表が出れば上に一段登り、裏が出れば下に
一段下がります。7段目にたどり着けばクリア、生きて帰れます。
逆に1段目まで降りてしまったらゲームオーバー、死にます。
さて、この棒人間君が生還できる確率は？　もちろんコインの裏表は
1/2の確率で等しく出るものとし、階段の途中でやめることはできないものとします。

SUGIYAMA Shunsukeの考えた答え †

4段目スタートだと生死の確率はどっちも。5段目からの生存確率は1段目からの死亡確率に等しい。6段目からの生存確率は2段目からの死亡確率に等しい。

解をとして定式化すればよいんじゃないのか？

まず幸運にも最短で生存確定の場合：

次に、4段目に行く確率はです。そして、ここから生存する確率は。じゃぁ、一回目のコイン投げで6段目に行ってしまったあとの生存確率は？一回目のコイン投げで6段目にいく確率はです。 そのあとの生存確率は未知なのか。これを未知だとすると、これをとおいて二本の式をつくらないと解けないわけか（未知数が2個になっちゃうから）。それはなさそうだ。数式は一本でいけるはず、というか1本じゃないならエレガントじゃない。

未知じゃないなら既知か？というと、別に既知でなくてもＯＫ。に依存する関数として表現できれば数式を一本で済ませられる。すると、6段目からの生存確率は、１）一発で表を出して7段目に到着するか、２）裏を出して5段目、つまりもとの位置にもどってそこから確率で生存するか、のどちらかになる。

つまり、

ああこれで解けるわ。最初にいきなり考えた「まず幸運にも最短で生存確定の場合：」なんて、考える必要なかったことに気がついた。でもこれが解答へのヒントになったけど。要するに、5段目スタートからは確率で6段目か4段目にいくしかないので、6段目に行った後の展開と、4段目に行った後の展開の二つだけを（もともとのをつかって表現してやって）考えらればよかったんだね。

を解いて、生存確率は

Reference †

参考書籍 †

• ビルゲイツの面接試験

リンク †