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概要:このページでは、数学ソフトMathematicaでの微分積分する方法を解説します。 親ページ:このページの親ページはMathematicaです。
微分 †とりあえず， f[x_] := 5 x ^3 + 4 x ^2 + 3 x + 1 と関数fを定義しておこう．定義に沿って微分するには Limit[(f[x + h] - f[x])/h, h -> 0] とやればよい． 当然，コマンドがある． D[f[x], x] である． f'[x] とやっても同じ． f''[x] とやれば，2階の導関数を求めてくれる． ここで，いったん定義した関数fを Remove[f] で取り除いておこう．さて， D[f[g[x]], x] とすれば，合成関数の微分の公式をはじき出してくれる． D[(3 x + 5)^5, x] などどすれば， 15 (5 + 3 x)^4 となるので，確かに合成関数の微分の公式は成立していることが確認された． 対数微分法で D[Log[x], x] を計算すれば， 1/x となる． D[Log[f[x]], x] を計算すれば， f'[x]/ f[x] を得る． D[a^x, x] は a^x Log[a] を返す． その他， D[Exp[f[x]], x] D[x^n, x] D[Sin[x], x] などど遊んでみよう． 高次の微分もできる． D[Exp[x], {x, 3}]
とやれば，Exp[x]の3階微分を返す．すなわち， e^x である． D[Exp[f[x]], {x, 5}]
なども瞬時に計算してくれる．すごい． 導関数を同じ図にプロットしてみよう． f[x_] := x^3 - x^2 - 5 x + 1 と定義しておき， Plot[Evaluate[{f[x], D[f[x], x], D[f[x], {x, 2}]}, {x, -3, 4}]]
とすれば，関数fと，1次導関数，2次導関数を同じ図に描いてくれる．ちゃんと，関数fの極値を与えるxは， Solve[{D[f[x], x] == 0}, x]
の解になっていることも確認できる．（ここでは，Evaluateを使ってはじめに導関数を求めてから図を描いている．） テーラー展開 †テーラー展開，マクローリン展開（＝原点周りのテーラー展開）とかも瞬時に簡単． Remove[f] で，さっき定義した関数fをまずは消去しておこう． Series[f[x], {x, a, 4}]
とすれば，関数f[x]について，aの周りで4次までのテーラー展開をしてくれる． Series[f[x], {x, a, n}] /. n -> 4
としても同じこと． いくつか，有名なマクローリン展開を紹介しておこう． Series[Exp[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Log[1 + x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
Series[Sin[x], {x, a, n}] /. {n -> 4, a -> 0}
など． 積分 †不定積分 †Integrate[x, x] とすれば，関数f(x)=xを，xで不定積分してくれる． Integrate[x^2, x] Integrate[x^3, x] Integrate[x^n, x] Integrate[Exp[x], x] Integrate[Log[x], x] Integrate[Cos[x], x] など，いろいろと遊んでみよう．積分定数は省略されている点に注意． 部分積分の公式を使った計算も，瞬時にやってくれる． たとえば， Integrate[x Exp[x] Cos[x], x] などで確認してみよう． 置換積分法も楽々計算してくれる．例えば， Integrate[( x + 1)^10, x] Integrate[(a x^2 + 1)^10, x] Integrate[Cos[n x], x] などで確認してみよう． 部分分数分解して積分するのも簡単にできる． Integrate[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x)), x] などで確認してみよう．部分分数分解は Apart[(6 - x)/((5 + x) (-1 + 2 x))] によって与えられる．分解をもとに戻すには， Together[] というコマンドを使う． 定積分 †Integrate[x^3, {x, 0, 1}]
などどやれば， 数値積分 †Integrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
のような複雑な関数の積分をしようとすると，解析的に求まらない．そこで，数値的に解くのが数値積分． NIntegrate[x^(Cos[3 x]), {x, 0, 1}]
とすれば， 0.763416 瞬時に計算してくれる．すごい． Reference †参考書籍 †
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